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Sujets de Recherche

Formes perverses

Les pseudovariétés stratifiées, introduites par Goresky-MacPherson, sont des variétés singulières qui sont obtenues comme union des variétés régulières appelées strates. Les strates ouvertes forment un ouvert dense de X est sont appelées strates régulières. Les autres strates sont singulières. Ces strates se rencontrent de façon conique. La cohomologie d'un telle pseudovariété X est moins riche que la cohomologie d'une variété régulière. Elle perd par exemple la Dualité de Poincaré. C'est pour récupérer ce type des propriétés que Goresky-MaPherson ont introduit la cohomologie d'intersection. Nous nous intéressons aux formes perverses. Elles sont des formes différentielles définies sur les strate régulières de X et ells calculent la cohomologie d'intersection de X. Nous avons don une répresentation à la deRham de cette cohomologie (voir S et S2).

Action d'un groupe de Lie compact

L'action d'un groupe de Lie compact G sur une variété M produit une pseudovariété stratifiée, l'espace des orbites M/G. Notre objectif est celui d'étudier la relation entre la cohomologie de M, la cohomologie de G et la cohomologie d'intersetion de M/G. Nous avons traité pour le moment le cas où l'action est de profondeur 1 et G est le cerle S¹ (voir HS), G est la sphere S³ (voir S3 et RS1) et celui du tore Tⁿ (voir S4). Il est aussi naturel de considerer l'action de G sur une pseudovariété stratifiée X pour laquelle l'espace d'orbites X/G est aussi une pseudovariété stratifiée. Cette situation est bien plus complexe du point de vue cohomologique. Le cas G = S¹ est traité dans D et G. Nous prouvons dans ce dernier cas, que la cohomologie d'intersection de X est determinée par l'espace d'orbites X/G et par la classe d'Euler (perverse) de l'action (voir PS). Il est de même pour la cohomologie équivariante d'intersection (voir RS).

Feuilletages riemanniens singuliers

Dualité de Poincaré. La structure transverse d'un feuilletage riemannien singulier (FRS) est une "pseudovariété stratifiée". Nous utilisons les techniques cohomologiques propres à ce type de variétés singulières pour introduire la cohomolgie d'intersection basique (CIB) d'un tel feuilletage (voire SW1). Nous avons étudié la finitude de la CIB d'un FRS compact et la Dualité de Poincaré (DP) pour le cas où le feuilletage est définie par l'action isométrique d'un groupe de Lie abelien (voir SW2) et non abelien (voir SW3) . Rappelons que cette dualité est à la base de la cohomologie d'intersection un des premiers problèmes traités pour la cohomologie basique d'un feuilletage riemannien régulier. Nous travaillons dans l'extension de ce resultat au cas général. La DP des flots riemanniens a été étudié dans R.

Minimalité . La minimalité d'un feuilletage riemannien sur une variété compacte est lue cohomologiquement de trois façons différentes: (1) nulité de la classe de la forme de courbure moyenne; (2) non nullité de la classe basique maximal et (3) non nullité de la classe minimale tordue. Dans le cas non compact la situation est différente. Nous prouvons dans RSW1 et RSW2 que ces propriétés sont toujours vraies si la variété en question est la strate régulière d'un FRS défini sur une variété compacte.

Pour les deux questions, il est important de savoir que le groupe maximal de la BIC d'un FRS est 0 ou R (voir RSW3).

Modeles minimaux

Un invariant plus fin que celui de la cohomologie d'intersection pour l'étude des pseudovariétés stratifiées est celui du modèle minimal. Nous avons ommencé à utiliser cette approche pour étudier les actions du cercle (voir RS).

Publications les plus significatives

Equivariant intersection cohomology of the circle actions.
(Avec J.I. Royo Prieto)..
Preprint. Arxiv

The Gysin sequence for S3-actions on manifolds.
(Avec J.I. Royo Prieto).
Preprint. Arxiv

Finitness of the basic intersection cohomology of a Killing foliation.
Accepté pour publication dansMathematische Zeitschrift
(Avec R. Wolak)
Preprint. Arxiv

Cohomological tautness for Riemannian foliations.
(Avec J. I. Royo Prieto et R. Wolak).
Russ. Journal of Math. Physics 16(2009), 450-466.

Tautness for riemannian foliations on non-compact manifolds.
(Avec J. I. Royo Prieto et R. Wolak).
Manuscripta math. 126(2008), 177-200 .

Top dimensional group of the basic intersection cohomology for singular riemannian foliations.
(Avec J. I. Royo Prieto et R. Wolak).
Bull. Polish Ac Sc. 53(2005), 429-440.

De Rham intersection cohomology for general perversities.
Illinois J. Math. 49(2005), 737-758.

Intersection cohomology of circle actions.
(Avec G. Padilla).
Topology and its Applications 254(2007), 2764-2770. Arxiv

The BIC of a singular foliation defined by an abelian group of isometries.
(Avec R. Wolak).
Ann. Polon. Math. 89 (2006), 203-246.

Basic intersection cohomology of conical foliations.
(Avec R. Wolak).
Mat. Zametki 77(2005), 235--257. Translation in Math. Notes 77(2005), 213-231 .

Minimal models for non-free circle actions.
(Avec A. Roig).
Illinois J. Math. 44(2000), 784-820.

Cohomologie d'intersection des actions toriques simples.
Indagationes Math. 7(1996), 389-417.

A six dimensional compact symplectic solvmanifold without Kähler structures.
Osaka J. Math. 33 (1996), 19-35.
(Avec Marisa Fernandez et Manuel de Leon).

Cohomologie d'intersection modérée. Un Théorème de deRham.
Pacific Journal of Math. 169 (1995), 235-289.
(Avec B. Cenkl et G. Hector).

Homological properties of stratified spaces.
Illinois J. Math. 38(1994), 47-70.

A Gysin sequence for semifree actions of S³.
Proceedings of the A.M.S. 118(1993), 1335-1345.

Intersection cohomology of S¹-actions.
(Avec G. Hector).
Transactions of the A.M.S. 338(1993), 263-288.

Homologie d'intersection et variétés homologiques.
(Avec J.P. Brasselet).
C.R.A.S. 314(1992), 847-851.

Théorème de de Rham pour les variétés stratifiées.
Annals of Global Anal. and Geo. 9 (1991), 211-243
.(Avec J. P. Brasselet et G. Hector).

Compact symplectic four solvmanifolds without polarizations.
(Avec L.A. Cordero, M. Fernández et M. de León).
Annal. Fac. Sci. Toulouse 10(1989), 193-198.

The Euler class for flows of isometries.
Research Notes in Math. 131(1985), 220-227.

Doctorants

• José Ignacio ROYO PRIETO. Estudio cohomológico de flujos riemannianos. Universidad del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea. Octobre 2003 ( savoir +).
• Gabriel PADILLA. Cohomología de intersección de las acciones estratificadas del círculo unitario S1.Cotutelle entre l'Université d'Artois et l'Universidad Central de Venezuela. Janvier 2004.
• Fermín DALMAGRO. Acciones iteradas del círculo. Universidad Central de Venezuela. Octobre 2004.

TERs

• Christophe POUTRAIN. Sur le théorème de Jordan. 1999/2000.
• Lætitia CRUITS. Le théorème de Van Kampen. 2001/02.
• Christelle RIMETZ. Le théorème de la courbe de Jordan. 2001/02.
• Sophie KONIECZNY. Application de la cohomologie de De Rham. 2002/03.
• Aurélia PRUVOST. Autour du théorème de Brouwer. 2003/04.
• Pauline MONCHY. Formeule de Künneth. 2004/05.
• Flora HOCHART. Autour du théorème de Brouwer. 2005/06.
• Camille LESAGE. De l'intérieur, de l'adhérence et de la frontière. 2005/06.
• Audrey GÓMEZ. Le nombre d'enroulements. 2007/08.
• Roman MITURA. Axiomes de séparation. 2007/08.
• Céline MENDOLA. A propos de Métrisation. 2009/10

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